La distribution normale

Rappels de cours

Utilisation de la table normale réduite

Propriétés de la distribution normale

Situer un individu dans une distribution normale

Rappels de cours

Facultatif: Equation d'une loi normale de moyenne m et d’écart-type s

Table de la distribution normale réduite Z N(0, 1²) (cf. brochure RTD Licence p.128)

On dispose dans cette brochure d'une table de la distribution normale réduite qui donne la proportion à gauche d'une valeur z. La table est organisée en tableau à double entrée: en ligne, unité et première décimale de z; en colonne, deuxième décimale de z.

Propriété fondamentale pour l'utilisation de la table de la loi normale réduite

Soit X N(, ²),

P(X < x) ?

Solution: utiliser la table de la distribution normale réduite

soit:         X N(, ²),     Z N(0, 1²)

et  ("écart-réduit")

alors P(X < x) = P(Z < z)

Exemple:

Soit X N(5, 2²)              P(X < 8) ?

 

P(X < 8) = P(Z < 1.5) = 0.9332 (cf. table)

Utilisation de la table de la distribution normale réduite

Exercice 1

Quelle est la proportion de la distribution normale réduite qui se situe à gauche de la valeur z = 1.68?

Exercice 2

Quelle est la proportion de la distribution normale réduite qui se situe à gauche de la valeur z = 2.10?

Propriétés de la distribution normale

Les propriétés de symétrie et de complémentarité de la distribution normale nous permettent de nous contenter de cette table pour déterminer les proportions qui nous intéressent. En effet :

Symétrie:

Le graphe est symétrique autour de la moyenne :

p(Z > -z) = p(Z < z)

Complémentarité:

Si l'on veut connaître la proportion de la distribution qui se situe à droite de la valeur z, il suffit de retirer à l'aire totale, qui est de 1, la proportion à gauche de z:

p(Z > z) = 1 - p(Z < z)

Exercice 3

Quelle est la proportion de la distribution normale réduite qui se situe à droite de la valeur z = -3.1?

Exercice 4

Quelle est la proportion de la distribution normale réduite qui se situe à droite de la valeur z = 1.25?

Situer un individu dans une distribution normale

Exercice 5

Soit X une variable qui se distribue selon une distribution normale de moyenne  = 2 et d'écart-type  = 3.

1/ Quelle est la proportion de la distribution de X qui se situe à droite de la valeur x = 2.5?

2/ Quelle est la proportion de la distribution de X qui se situe entre 2 et 2.5?

Exercice 6:

La distribution de la taille des 3000 étudiants d'une université américaine est ajustée par une distribution normale de moyenne µ = 175 cm et d'écart-type = 8 cm.

1/ Evaluer le nombre d'étudiants dont la taille dépasse 183 cm?

2/ Evaluer le nombre d'étudiants dont la taille est inférieure à 165 cm?

3/ Evaluer le nombre d'étudiants dont la taille est comprise entre 1m60 et 1m90?

4/ Evaluer le nombre d'étudiants dont la taille est comprise entre 1m80 et 1m85.