Le signe S ("Sigma" majuscule)

 

1/ Des données

Soit un ensemble de valeurs numériques, les notes de 5 élèves en maths, par exemple.

 

 

Notes

Jean

10

Claude

15

Elsa

12

Sylvie

13

Fred

10

 

Lorsqu'il s'agit de valeurs recueillies sur un ensemble d'individus on représente souvent, par convention, les individus en ligne.

2/ Notations

On désigne par X cet ensemble de valeurs numériques

On note I l'ensemble des individus.

On désigne par n le nombre d'éléments de cet ensemble I.

 

I

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i2

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i3

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i4

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i5

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Note: ce tableau sera complété au fur et à mesure des exercices.

3/ Calculer:

a/ La somme des valeurs:

S X =

b/ La somme des carrés des valeurs:

Construire d'abord l'ensemble X² dans le tableau puis en faire la somme

S X² =

c/ Le carré de la somme des valeurs initiales:

(S X)² =

d/ Vérifier que (S X)² est, en général, différent de S

Rappel: on sait qu'en général, sur deux valeurs a et b: (a+b)² ¹ a² + b²

Ces deux expressions diffèrent en effet de 2ab: (a+b)² = a² + b² + 2ab.

4/ Moyenne

Ecrire la formule de calcul de la moyenne avec le signe S.

5/ Propriété

a/ Que se passe-t-il si l'on multiplie toutes les valeurs par une constante?

Par exemple on multiplie toutes les notes par 2.

Calculer et reporter dans le tableau l'ensemble 2 X des nouvelles notes.

Vérifier que S (2 X) = 2 (S X)

 

Enoncer la propriété générale en notant a une constante quelconque.

b/ Que se passe-t-il si on ajoute une constante à toutes les valeurs X?

Par exemple on ajoute 3 à toutes les notes initiales.

Calculer l'ensemble 3X (cf. tableau ci-dessus)

Faire constater que S (X+3) n'est pas égal à (S X) + 3  mais à....

 

Enoncer la propriété générale en notant b une valeur constante quelconque.

6/ Protocole bivarié

Soit un nouvel ensemble de valeurs recueillies sur les mêmes individus (des notes en Anglais par exemple):

12, 15, 10, 11, 2

Reporter ces valeurs dans une colonne du tableau.

On désigne par Y ce nouvel ensemble.

a/ Calculer:

La somme des valeurs X:

S X =

La somme des valeurs Y:

S Y =

b/ Construire l'ensemble des valeurs X + Y

Vérifier que l'on a S (X+Y) = S X + S Y

c/ Calculer:

- la somme des produits:

S (X Y) =

- le produit des sommes:

(S X) (S Y) =

 

Vérifier que S (X Y) diffère de (S X) (S Y)

7/ Vers la variance...

1/ Vérifier sur un ensemble de 4 nombres que si ces nombres sont tous égaux on a la relation (n désigne le nombre d'éléments de l'ensemble X)

S X² = (S X)² / n

 

2/ Constituer un autre ensemble de 4 nombres, en ajoutant 1 à un nombre et en retranchant 1 à un autre. On obtient un nouvel ensemble de même somme que l'ensemble précédent.

Vérifier que (S X)²/n n'a pas changé (Puisque S X n'a pas changé)

Constater que S X² > (S X)² / n

 

3/ Constituer un autre ensemble de nombres, toujours de même somme, mais avec des valeurs plus dispersées.

Vérifier que la S X² a encore augmenté

 

On montre ainsi que l'indice S  - (S X)² / n peut être pris comme indice de dispersion d'un ensemble de valeurs. Il s'agit du numérateur de la variance. En divisant par n on retrouve la formule de calcul de la variance.

Huyghens :

Vérifier que (si on note m = (S X) /n la moyenne) on a:

S (X - m)² = S  - n m² (identité de Huyghens)