- équationS d'une droite dans le plan

 

1/ Vecteurs du plan, base, composantes

a/ Vecteur et vecteurs colinéaires

Un vecteur  est donné par une direction et une longueur :     

 

Vecteurs colinéaires :

 

 

On dit que deux vecteurs  et  sont colinéaires s'ils ont des supports parallèles, ce qui signifie mathématiquement que l'on obtient le deuxième en multipliant le premier par un nombre réel :

Il existe k réel tel que

 

b/ Base vectorielle du plan

Le plan est de dimension 2.

 

       Une base vectorielle  est la donnée de deux vecteurs  qui ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire qui n'ont pas de supports parallèles.

 

     Si  sont orthogonaux, on dit que la base est orthogonale.

 

            Si  sont de même longueur (de même "norme ", c'est-à-dire "normés"), on dit que c'est une base normée.

 

 

Si la base est à la fois normée et orthogonale, on dit qu'elle est orthonormée.

 

Alors un vecteur  quelconque se décompose de manière unique sous la forme :

On dit alors que x et y sont les composantes de  par rapport à la base , et on note :

 

Deux vecteurs colinéaires ont leurs composantes proportionnelles, par exemple :

 (-2 ; 5) et  (-4 ; 10)

 

 

c/ Exercices

1/ Placer dans une base orthonormée les vecteurs  (-1 ; 2) et  (3 ; 2).

 

2/ Placer dans une base orthogonale, d'unité 1 cm sur  et 2 cm sur , les vecteurs  (1 ; 2) et  (3 ; 2).

 

 

2/ Points du plan, repère, coordonnées

a/ Rappels

 

Un repère du plan (O, , ) est la donnée d'un point O appelé origine et d'une base de deux vecteurs(, ). On appelle alors coordonnées (x ; y) du point M par rapport à ce repère les composantes du vecteur OM dans la base (, ).

b/ Exercices

1/ Placer dans un repère orthonormé les points A (-2 ; 3) et B (3 ; 5).

 

2/ Placer dans un repère orthogonal, d'unité 1 cm sur Ox et 2 cm sur Oy, les points M (1.5 ; 2) et N (-3 ; 2).

 

 

3/ équations d'une droite

L'équation d'une droite est la condition numérique que doivent vérifier les coordonnées (x ; y) d'un point M pour qu'il soit sur cette droite.

On montre qu'une droite a toujours une équation du type : Ax + By + C = 0, et qu'inversement un ensemble ayant une équation de ce type est une droite.

 

a/ Exercices

Dans un même repère orthonormé, tracer les droites suivantes, que remarque-t-on ?

 

1/         (D1)                2x + 4y -2 = 0

            Les points        A (2 ; 1) et B (-1 ; 1) sont-ils sur cette droite (D1) ?

 

2/         (D2)                4x +8y -4 = 0

 

3/         (D3)                2x + 4y +3 = 0

 

4/         (D4)                x - y +3 = 0

 

 

Remarque 1

Une droite a plusieurs, et même une infinité d'équations : par exemple D1 et D2 sont la même droite.

Les diverses équations d'une même droite sont obtenues à partir de l'une d'entre elles par multiplication par un réel non nul.

 

 

Remarque 2

Soit Ax + By + C = 0, l'une des équations d'une droite.

Si B = 0, l'équation est du type x = constante, la droite est parallèle à y'Oy.

Si B ¹ 0, l'équation peut se mettre sous la forme : y = ax + b

 

L'équation d'une droite donnée non parallèle à y'Oy est unique sous la forme : y = ax + b.

La direction de la droite est déterminée par la valeur de a, c'est-à-dire que deux droites ayant le même "a" sont parallèles.

 

            On appelle a le coefficient directeur de la droite.

            b s'appelle l'ordonnée à l'origine.

 

 

Notation

Une notation usuelle pour une équation de droite en Statistique, pour les droites de régression est :

Sur certaines calculettes, ce sera même : .

 

 

Savoir-faire élémentaire concernant les équations de droites

Savoir trouver l'équation d'une droite, connaissant deux points.

Exemple : Dans un repère orthonormé, on donne deux points A (3 ; 5) et B (-2 ; 0). Trouver l'équation de la droite (AB).

 

Il y a plusieurs façons d'opérer, une façon assez simple est d'écrire que l'équation  de la droite (AB) est vérifiée par les points A et B.

 

            C'est-à-dire que           5 = 3a + b

                        et                     0 = -2a + b

 

On résout ce système et on trouve a = 1 et b = 2, donc l'équation est :

 

 

 

b/ Application

Dans un repère orthonormé, placer les points A (1 ; 2), B (-3 ; 5), C (3 ; -2), D (5 ; 3).

Trouver une équation de chacune des droites (AB) et (CD).

 

 

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