- Les arrondis

1/ Présenter un résultat

a/ Nombre de décimales ?

Compter le nombre d'étudiants présents dans ce cours. Compter le nombre de garçons parmi l'auditoire.

 

Calculer le pourcentage de garçons (si le résultat est un entier ou une fraction simple (1/3, 1/10...) prendre un autre exemple: le nombre de porteurs de lunettes, le nombre de parisiens...).

 

Discuter du bon niveau de précision (nombre de décimales) pour présenter le pourcentage obtenu.

 

 

Principe: Un résultat ne doit pas déformer la réalité tout en étant "parlant".

 

 

 

b/ Une précision illusoire

Que deviendrait le pourcentage s'il y avait eu...

a/ un garçon de plus ?

 

b/ un garçon de moins ?

 

c/ une fille de moins ?

 

d/ une fille de plus ?

 

Considérer l'ensemble des résultats obtenus pour discuter du bon niveau de précision pour la présentation des résultats.

 

 

2/ Qu'est-ce qu'arrondir ? Comment arrondir ?

Soit le nombre 13.2871. Deux moyens de présenter ce nombre avec seulement deux décimales (par exemple):

 

- Tronqué, cela donne 13.28 (on se contente d'oublier les autres décimales)

- Arrondi, cela donne 13.29 (on donne le nombre avec le moins de déformation possible par rapport au résultat précis)

 

Vérifier que le résultat précis est plus près de 13.29 que de 13.28

 


a/ Le problème du 5

Comment arrondir 34.25 (34.250000...) à une décimale ? 34.2 ou 34.3 ?

Pas de raison objective de choisir l'un ou l'autre (34.25 est à mi-chemin de 34.2 et 34.3).

La convention la plus fréquente consiste à prendre la valeur supérieure (soit ici 34.3).

 

 

b/ Que fait votre calculette ?

La question ne se pose, bien entendu, que pour les calculettes qui arrondissent (celles qui tronquent indiqueront 34.2).

Taper 34.25 et demander l'affichage avec une seule décimale (Cf. la procédure ci-dessous).

 

 

3/ Arrondir ou tronquer à la calculette (Cf. "Calculette", § 7, p.17)

a/ Modification du nombre de décimales affichées avec la calculette  Casio fx 180P Plus

Le mode 'FIX' : [Mode] 7 permet de modifier le nombre de décimales affichées.

 

Procédure: taper [Mode] 7 puis le nombre de décimales souhaité.

            Par exemple, pour afficher un résultat avec 3 décimales : [Mode] 7 3.

 

Pour revenir à la notation décimale standard : [Mode] 9

 

b/ Que fait votre calculette ? Elle arrondit ou elle tronque?

Taper 9.876 puis changer le nombre de décimales affichées (2, 1 ou 0 décimales) en utilisant la procédure ci-dessus. Qu'observe-t-on ?

 

Commentaires :

- Il paraît que certaines calculettes tronquent... Lesquelles ?

- Lorsque les calculettes tronquent c'est seulement pour l'affichage ! Elles font les calculs avec toutes les décimales (au fait combien ?) sans tronquer ni arrondir.

 

Question

Existe-t-il des calculettes qui n'arrondissent pas au-dessus dans le cas du 5 ?

Attention

34.251 ou 34.25002 s'arrondissent évidemment à 34.3

En cas de doute on peut vérifier :

1/ en faisant les soustractions, que par exemple 34.251 est plus près de 34.3 que de 34.2 :

34.3 - 34.251 = 0.049

34.2 - 34.251 = -0.051

 

2/ à la calculette (si elle arrondit) en tapant, par exemple, 34.250002 puis en demandant l'affichage avec 1 seule décimale.


4/ Exercice : Arrondir et tronquer

a/ à la main

Indiquer dans le tableau ci-dessous le nombre 8.539811, arrondi ou tronqué, avec la précision indiquée.

8.539811

arrondi

tronqué

à la dizaine près

 

 

à l'unité près (0 décimale)

 

 

au dixième près (1 décimale):

 

 

au centième près (2 décimales)

 

 

au millième près (3 décimales)

 

 

au dix-millième près (4 décimales)

 

 

au cent-millième près (5 décimales)

 

 

 

 

b/ Calculette

Ce nombre (8.539811) est le résultat du produit de 3.1416 ( arrondi à 4 chiffres) par 2.7183  (e arrondi à 4 chiffres).

Faire le produit à la calculette et modifier le nombre de décimales affiché pour vérifier ce que vous avez indiqué dans le tableau ci-dessus (une colonne ou l'autre selon que votre calculette arrondit ou tronque).

 

 

5/ Qui croire ?

Lorsqu'elle tape 2 3 sur sa calculette, Hannah lit 0.66666. Sur sa calculatrice pour la même opération, Pablo lit 0.66667.

Quelle est la calculette qui tronque l'affichage ? Quelle est celle qui l'arrondit ?

 

 

6/ Exercice : Arrondir encore...

 

48.6

136.5

21.3

à une unité près:

 

 

 

 

 

368.561

2448

300.02

à une centaine près:

 

 

 

 

 

1.527

12.431

35.197

au centième près

 

 

 

 

 

Après avoir fait cet exercice à la main, on pourra vérifier avec la calculette (si elle arrondit !).

 


7/ Arrondi inverse

a/ Quelqu'un déclare mesurer 1.74m. Entre quelles valeurs se situe sa taille, au millimètre près?

 

b/ 72.5 est à la fois la troncature et l'arrondi au dixième d'un nombre x.

Donner trois valeurs possibles d'un nombre x.

 

 

 

8/ Calculer avec précision

Principe : On arrondit pour la présentation, mais on fait les calculs avec précision (on arrondit le résultat seulement).

 

a/ Arrondi de la somme et somme des arrondis

Soit l'addition 4.37 + 8.63 + 7.24 + 6.33

Procéder des deux manières suivantes :

- Additionner ces nombres, puis arrondir au dixième près le résultat. Noter le nombre obtenu.

 

- Arrondir chacun des nombres au dixième près, puis additionner. Noter le nombre obtenu.

 

Comment expliquer la différence entre les deux nombres obtenus ? Quel est le résultat le plus juste ?

 

Conclusion : La somme de nombres arrondis n'est pas égale à l'arrondi de la somme de ces nombres.

 

 

b/ Ordre et arrondis

Modifier l'affichage de la calculette pour obtenir 4 chiffres après la virgule ([Mode] 7 4 sur la Casio fx 180P Plus).

 

Calculer  

- en gardant tous les chiffres fournis par la machine pour le résultat intermédiaire. Vérifier qu'on obtient le même résultat quel que soit l'ordre des calculs :

(4.37 x 0.75) / 2.25 =

(4.37 / 2.25) 0.75 =

(0.75 / 2.25) 4.37 =

 

- en arrondissant le résultat intermédiaire à deux chiffres après la décimale.

(4.37 x 0.75) / 2.25 =              / 2.25 =

(4.37 / 2.25) 0.75 =             0.75 =

(0.75 / 2.25) 4.37 =             4.37 =

 

En déduire une règle pour la conduite des calculs.

 

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