- Fréquences et POURCENTAGES

1/ Terminologie

a/ Effectifs

Un effectif est, par définition, un nombre d'observations. Il renvoie à la notion de dénombrement.

Exemple : on a dénombré 1000 personnes qui ont répondu à une enquête ; parmi ces 1000 personnes, 100 sont âgées de 15 à 18 ans, 200 sont âgées de 19 à 22 ans, etc.

100 est l'effectif de la tranche d'âge [15 ; 18] ; 200 est l'effectif de la tranche d'âge [19 ; 22]. 1000 est l'effectif total, représentant l'ensemble des personnes interrogées.

 

On note souvent l'effectif : n

Attention

Le dénombrement peut aussi s'effectuer sur différentes "unités".

Exemple : on a analysé 50 dessins d'un même enfant, effectués au cours de ces 3 dernières années. Parmi ces 50 dessins, 15 étaient jugés comme étant exécutés avec une grande créativité, 25 avec une créativité moyenne et 10 sans créativité particulière. On dénombre ici non pas des "individus", mais des dessins.

 

b/ Fréquences

Exemple : on a répertorié 400 enfants dans une école primaire de la région parisienne. Parmi ces 400 enfants, 265 sont inscrits à la cantine.

On effectue :; on peut également écrire : .66 (lire "point 66"). On peut aussi exprimer ce résultat sous forme de pourcentage : 66%

La fréquence des enfants inscrits à la cantine est 0.66 ; 66% des enfants de cette école primaire de la région parisienne sont inscrits à la cantine.

 

Remarques :     1/ Pour la présentation d'un résultat, une fréquence sera arrondie à 2 décimales. Un des avantages de cette présentation est que l'expression peut être immédiatement "traduite" en pourcentages.

                        2/ La fréquence est obligatoirement comprise entre 0 et 1 : 0 £ fréquence £ 1

 

c/ Pourcentages

Il existe deux sortes de pourcentages :

- premier cas (évoqué ci-dessus) : c'est une manière d'exprimer une fréquence,

- second cas : la valeur exprimée peut être supérieure à 100. Exemple : on a constaté une augmentation du coût de la vie de 200% pour la dernière décennie.

 

d/ Proportions

On parlera beaucoup de proportion pour exprimer une fréquence.


2/ Applications

a/ Sondage

Lors d'un sondage, 800 personnes ont été amenées à répondre à la question suivante :

"Si votre enfant rencontrait des problèmes à l'école, accepteriez-vous qu'il aille consulter un psychologue ?"

 

Ci-après figurent les réponses "oui" répertoriées suivant la tranche d'âge à laquelle appartiennent les différentes personnes interrogées, ainsi que l'effectif de chaque tranche d'âge.

 

 

Tranches d'âge

"Oui"

Total

a1

20 à 24 ans

  96

120

a2

25 à 29 ans

  52

100

a3

30 à 34 ans

100

200

a4

35 à 39 ans

  25

150

a5

40 à 44 ans

  15

  70

a6

44 à 49 ans

  63

130

a7

50 ans et plus

  25

  30

 

 

Questions

1/ Combien de personnes ont-elles répondu "oui" à la question posée ?

 

2/ Quelle est la proportion des réponses "oui" par rapport aux 800 personnes interrogées ?

 

3/ Quelle tranche d'âge est la plus favorable à la consultation ? La moins favorable ?

 

4/ Représenter graphiquement cette répartition. Commentaires.

 

 

b/ Enquête

Lors d'une enquête concernant la lecture de la revue "Divan et Psychanalyse", 1000 étudiants en Psychologie habitant soit en Ile de France, soit en province ont été interrogés. D'où le tableau des effectifs suivant :

 

 

 

Ile de France

Province

 

Ont lu au moins une fois la revue "Divan et Psychanalyse"

 

   10

 

110


N'ont pas lu la revue "Divan et Psychanalyse"

 

280

 

600

 


Questions

 

1/ Parmi les étudiants qui ont lu la revue, quelle proportion est issue de Province ? D'Ile de France ?

 

2/ Parmi les étudiants qui n'ont pas lu la revue, quelle proportion est issue de Province ? D'Ile de France ?

 

3/ Sur l'ensemble des personnes interrogées, quelle proportion vient de Province ? D'Ile de France ?

 

4/ Sur l'ensemble des personnes habitant en Ile de France, quelle proportion a lu la revue au moins une fois ? Quelle proportion n'a jamais lu cette revue ?

 

 

3/ Cumuls

Lors d'une analyse de discours d'un patient "déprimé", on a relevé différentes références utilisées, ainsi que le nombre de fois où elles sont apparues. Ces références ont été ensuite regroupées sous forme de thèmes.

 

 

Thèmes

Références

Effectifs

Fréqu.

 

 

Nourriture

35

 

 

Valeurs

Repos

20

 

 

physiologiques

Sexe

  2

 

 

 

Santé

  5

 

 

 

Confort

  3

 

 

 

Amour familial

15

 

 

Valeurs sociales

Amitié

10

 

 

 

Relations professionnelles

  4

 

 

 

Indépendance

25

 

 

Valeurs relatives

Accomplissement

12

 

 

au "moi"

Estime de soi

  2

 

 

 

Domination

  2

 

 

 

Agression

17

 

 

 

TOTAL

 

 

 

 

Questions

1/ Calculer les fréquences pour chaque référence. Quelle est la référence la plus représentée dans le discours du patient ? La moins bien représentée ?

 

2/ Dans quelle proportion, chaque thème est-il représenté ? Quel est le thème le plus présent dans le discours de ce patient ? Le moins présent ?

 


4/ Augmentations et diminutions en pourcentages

a/ Recherche d'effectifs à partir d'un pourcentage d'augmentation donné

Le nombre d'étudiants dans les universités augmente en moyenne de 4.5% par an. Ci-après on donne le nombre d'étudiants pour 6 filières (notées f1 à f6). Compte-tenu de ce taux d'augmentation, quel nombre d'étudiants peut-on attendre en 1998 pour les mêmes filières ?

Remplir le tableau suivant en arrondissant à l'entier le plus proche :

 

 

Nombre d'étudiants inscrits  en 1997

Nombre d'étudiants attendus en 1998

f1

550

575

f2

700

 

f3

850

 

f4

900

 

f5

1000

 

f6

1150

 

 

Questions

1/ Comment passe-t-on de la première à la deuxième colonne ?

 

2/ On désigne par x le nombre d'étudiants en 1997, par y le nombre d'étudiants en 1998.

Quelles sont les caractéristiques de la fonction F : x ® y ?

 

 

b/ Recherche d'un pourcentage d'augmentation à partir de valeurs données

En 1997, un étudiant a acheté 189.00F un livre de psychologie dans une librairie spécialisée. Il constate que le même livre vaut 195.00F, l'année suivante.

 

Question

Quel est le pourcentage d'augmentation ?

 

 

c/ Recherche d'un pourcentage de diminution à partir de valeurs données

Au moment des promotions de rentrée, un ordinateur présente l'étiquette suivante :

 

Question

Quel est le pourcentage de réduction ?


5/ Réductions et augmentations en chaîne

a/ Réductions en chaîne

Lors d'une expérience effectuée en psycholinguistique sur des enfants âgés de 2 ans / 2 ½ ans, 3 ans / 3½ ans, 4 ans / 4½ ans, on relève le nombre d'erreurs grammaticales produites lors d'un entretien de 10 minutes.

 

Le nombre d'erreurs par phrase est en moyenne de :

                   50 pour la tranche d'âge 2 ans / 2½ ans

on constate une diminution de :

                   16% pour la tranche d'âge 3 ans / 3½ ans, qui elle même diminue de :

                   25% pour la tranche d'âge 4 ans / 4½ ans.

 

Reconstituer la chaîne de diminutions sur le diagramme ci-après. En particulier, calculer le pourcentage de diminution d'erreurs de la tranche 2 ans / 2½ ans à la tranche 4 ans / 4½ ans.

 

 

 

 

 

b/ Augmentations en chaîne

On inverse maintenant le problème :

Lors d'une expérience effectuée en psycholinguistique sur des enfants âgés de 2 ans / 2 ½ ans, 3 ans / 3½ ans, 4 ans / 4½ ans, on relève le nombre de bonnes productions grammaticales produites lors d'un entretien de 10 minutes.

 

Le nombre de bonnes productions par phrase est en moyenne :

                   de 50 pour la tranche d'âge 2 ans / 2½ ans

 

on constate une augmentation de

                   16% pour la tranche d'âge 3 ans / 3½ ans, qui elle même augmente :

                   25% pour la tranche d'âge 4 ans / 4½ ans.

 


 

 

Questions

1/ Est-ce que les pourcentages s'ajoutent ?

 

2/ Est-ce qu'une chaîne de diminutions et une chaîne d'augmentations comportant les mêmes pourcentages donnent la même résultante ?

 

 

 

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